Pendidikan Umum

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linier Satu Variabel

contoh soal bilangan

Dari sudut pandang geometri, nilai mutlak dari x ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan|x|={−xjikax≥0−xjikax<0atau dapat pula ditulis
| x | = -x    jika x ≥ 0
| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,
| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4
Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan x2=x hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka x2=−x. Dapat kita tulisx2={−xjikax≥0−xjikax<0Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.|x|=x2Jika kedua ruas persamaan diatas kita kuadratkan akan diperoleh|x|2=x2Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.

Namun, pada artikel ini kita akan lebih fokus pada bentuk linier, baik dari kasus ataupun solusi, tanpa melibatkan bentuk kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal telah disinggung bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Posisi x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Posisi x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku
a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a
b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a
c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a

Note :
Apabila kedua ruas memuat tanda mutlak, sifat a masih dapat digunakan, namun sifat b dan c sudah tidak dapat digunakan.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 7| = 3

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x – 7| = 3  ⇔  2x – 7 = 3  atau  2x – 7 = -3
|2x – 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4
|2x – 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.

Contoh 2
Tentukan HP dari |2x – 1| = |x + 4|

Jawab :
Berdasarkan sifat a :
|2x – 1| = |x + 4|

⇔  2x – 1 = x + 4  atau  2x – 1 = -(x + 4)
⇔  x = 5  atau  3x = -3
⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.

Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x – 1| < 7

Jawab :
Berdasarkan sifat b :
|2x – 1| < 7  ⇔  -7 < 2x – 1 < 7
|2x – 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8
|2x – 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.

Contoh 4
Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Jawab :
Berdasarkan sifat c :
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4
|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.

Contoh 5 (EDIT)
Tentukan penyelesaian dari |3x – 2| ≥ |2x + 7|

Jawab :
Pertaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :
|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a – b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,
|3x – 2| ≥ |2x + 7|
⇔ ((3x – 2) + (2x + 7)) ((3x – 2) – (2x + 7) ≥ 0
⇔ (5x + 5) (x – 9) ≥ 0

Pembuat nol :
x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh
HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}